вопросы, страница 88 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. После раскрытия скобок при сложении многочленов может ли число членов быть:

а) меньше, чем число членов в многочленах вместе;

б) больше, чем число членов в многочленах вместе;

в) равным числу членов в многочленах вместе?

2. Сколькими способами можно представить трехчлен в виде разности одночлена и двучлена, составленных только из членов данного трехчлена?

1. После раскрытия скобок при сложении многочленов может ли число членов быть:

а) меньше, чем число членов в многочленах вместе;

Да, может. Это происходит, когда в складываемых многочленах есть подобные члены (члены с одинаковой буквенной частью). При их сложении или вычитании они объединяются в один член, что уменьшает общее количество членов в результирующем многочлене.

Пример:

Сложим многочлены $P = 3x^2 + 5x - 4$ (3 члена) и $Q = -x^2 - 5x + 1$ (3 члена). Общее число членов в них вместе: $3 + 3 = 6$.

Их сумма: $(3x^2 + 5x - 4) + (-x^2 - 5x + 1) = 3x^2 + 5x - 4 - x^2 - 5x + 1 = (3x^2 - x^2) + (5x - 5x) + (-4 + 1) = 2x^2 + 0 - 3 = 2x^2 - 3$.

В результате получился многочлен $2x^2 - 3$, в котором 2 члена. Это меньше, чем исходные 6.

Ответ: Да.

б) больше, чем число членов в многочленах вместе;

Нет, не может. Процесс сложения многочленов включает в себя два шага: раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. После раскрытия скобок (без приведения подобных) количество членов будет в точности равно сумме количеств членов в исходных многочленах. Следующий шаг — приведение подобных слагаемых — может только уменьшить или сохранить их количество, но никогда не увеличит, так как новые члены (с новыми буквенными частями) в процессе сложения не образуются.

Ответ: Нет.

в) равным числу членов в многочленах вместе?

Да, может. Такая ситуация возникает, когда у складываемых многочленов нет ни одного подобного члена. В этом случае после раскрытия скобок приводить нечего, и количество членов остается равным сумме количеств членов в исходных многочленах.

Пример:

Сложим многочлены $P = 2a + 3b$ (2 члена) и $Q = 4c - 5d$ (2 члена). Общее число членов: $2 + 2 = 4$.

Их сумма: $(2a + 3b) + (4c - 5d) = 2a + 3b + 4c - 5d$.

В результирующем многочлене 4 члена, что равно исходному общему числу.

Ответ: Да.

2. Сколькими способами можно представить трехчлен в виде разности одночлена и двучлена, составленных только из членов данного трехчлена?

Пусть дан трехчлен $T = a + b + c$, где $a, b$ и $c$ — его члены (одночлены).

Требуется представить его в виде тождества $T = M - B$, где $M$ — одночлен, а $B$ — двучлен, причём $M$ и $B$ составлены из членов $a, b, c$. Это означает, что равенство $a + b + c = M - B$ должно выполняться для любых $a, b, c$.

Для этого мы можем выбрать в качестве одночлена $M$ любой из трех членов исходного трехчлена, а затем найти соответствующий двучлен $B$.

Способ 1: Выберем $M = a$.

Подставим в тождество: $a + b + c = a - B$.

Отсюда следует, что $b + c = -B$, или $B = -b - c$.

Таким образом, первое представление: $a + b + c = a - (-b - c)$.

Здесь $M = a$ — это одночлен, взятый из исходного трехчлена. $B = -b - c$ — это двучлен, составленный из двух других членов с противоположными знаками.

Способ 2: Выберем $M = b$.

Подставим в тождество: $a + b + c = b - B$.

Отсюда $a + c = -B$, или $B = -a - c$.

Второе представление: $a + b + c = b - (-a - c)$.

Способ 3: Выберем $M = c$.

Подставим в тождество: $a + b + c = c - B$.

Отсюда $a + b = -B$, или $B = -a - b$.

Третье представление: $a + b + c = c - (-a - b)$.

Поскольку в трехчлене всего три члена, у нас есть ровно три варианта для выбора одночлена $M$. Каждый выбор однозначно определяет двучлен $B$. Следовательно, существует ровно три таких способа.

Ответ: 3.