Номер 731, страница 215 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

731. Постройте точку, которая:

а) находится на данном расстоянии от данной прямой и равноудалена от двух данных точек;

б) находится на данном расстоянии от данной прямой и равноудалена от двух пересекающихся прямых;

в) находится в плоскости данного треугольника, отстоит от одной прямой на данный отрезок дальше, чем от другой, и на данный отрезок ближе, чем до третьей;

г) находится на данной прямой и равноудалена от данной точки этой прямой и от другой данной прямой;

д) находится на данной прямой и разность расстояний ее до двух данных пересекающихся прямых равна данному отрезку;

е) находится на данной прямой и разность расстояний ее до двух данных точек наибольшая.

а) Искомая точка должна удовлетворять двум условиям. Рассмотрим геометрические места точек (ГМТ), удовлетворяющие каждому из них.
1. ГМТ, находящихся на данном расстоянии $d$ от данной прямой $l$, — это две прямые, $l_1$ и $l_2$, параллельные прямой $l$ и расположенные по разные стороны от нее на расстоянии $d$.
2. ГМТ, равноудаленных от двух данных точек $A$ и $B$, — это серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$.
Искомая точка (или точки) является пересечением этих двух ГМТ.

Построение:
1. Пусть даны прямая $l$, расстояние $d$ и точки $A$ и $B$.
2. Строим прямые $l_1$ и $l_2$, параллельные $l$ на расстоянии $d$. Для этого выбираем на $l$ произвольную точку $P$, проводим через нее перпендикуляр к $l$. На этом перпендикуляре откладываем отрезки $PQ_1 = d$ и $PQ_2 = d$ в разные стороны от $l$. Через точки $Q_1$ и $Q_2$ проводим прямые $l_1$ и $l_2$ параллельно $l$.
3. Строим серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AB$. Для этого проводим две окружности одинакового радиуса (большего, чем половина $AB$) с центрами в точках $A$ и $B$. Прямая, проходящая через точки пересечения этих окружностей, и есть $m$.
4. Точки пересечения прямой $m$ с прямыми $l_1$ и $l_2$ являются искомыми.
В зависимости от взаимного расположения прямой $m$ и прямых $l_1, l_2$ задача может иметь два, одно (если $m$ касается одной из прямых, что невозможно в общем случае) или ноль решений (если $m$ параллельна $l_1, l_2$ и не совпадает с ними).

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющему данные точки, с парой прямых, параллельных данной прямой и отстоящих от нее на данное расстояние. Задача может иметь 0, 1 или 2 решения.

б) Искомая точка должна удовлетворять двум условиям.
1. ГМТ, находящихся на данном расстоянии $d$ от данной прямой $l$, — это две прямые, $l_1$ и $l_2$, параллельные $l$.
2. ГМТ, равноудаленных от двух пересекающихся прямых $m_1$ и $m_2$, — это пара взаимно перпендикулярных прямых $b_1$ и $b_2$, являющихся биссектрисами углов, образованных прямыми $m_1$ и $m_2$.
Искомая точка (или точки) является пересечением этих ГМТ.

Построение:
1. Пусть даны прямая $l$, расстояние $d$, пересекающиеся прямые $m_1$ и $m_2$.
2. Строим прямые $l_1$ и $l_2$, параллельные $l$ на расстоянии $d$.
3. Строим биссектрисы $b_1$ и $b_2$ углов между $m_1$ и $m_2$. Для этого в точке пересечения прямых $O$ строим окружность произвольного радиуса. Она пересечет прямые в точках $P_1$ (на $m_1$) и $P_2$ (на $m_2$). Биссектриса одного из углов будет серединным перпендикуляром к отрезку $P_1P_2$. Вторая биссектриса проходит через точку $O$ и перпендикулярна первой.
4. Находим точки пересечения прямых $l_1, l_2$ с биссектрисами $b_1, b_2$. Эти точки являются искомыми.
В общем случае может быть до четырех решений.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения пары прямых, параллельных данной прямой и отстоящих от нее на данное расстояние, с парой биссектрис углов, образованных двумя другими данными прямыми. Задача может иметь от 0 до 4 решений.

в) Пусть прямые, на которых лежат стороны треугольника, — это $l_1, l_2, l_3$, а данные отрезки имеют длины $d_1$ и $d_2$. Фраза "отстоит от одной прямой на данный отрезок дальше, чем от другой, и на данный отрезок ближе, чем до третьей" может быть интерпретирована как набор из двух условий для искомой точки $X$:
1. $\rho(X, l_1) = \rho(X, l_2) + d_1$
2. $\rho(X, l_1) = \rho(X, l_3) - d_2$, что эквивалентно $\rho(X, l_3) = \rho(X, l_1) + d_2$.
ГМТ, удовлетворяющее каждому из этих условий, является прямой.
ГМТ для условия $\rho(X, L_A) - \rho(X, L_B) = d$ (где $d$ - константа) есть прямая. Для ее построения можно построить прямую $L'_B$, параллельную $L_B$ и отстоящую от нее на расстояние $d$. Тогда искомое ГМТ будет одной из биссектрис угла между прямыми $L_A$ и $L'_B$.

Построение:
1. Строим ГМТ для первого условия: $\rho(X, l_1) - \rho(X, l_2) = d_1$.
а) Строим прямую $l'_2$, параллельную $l_2$ на расстоянии $d_1$. Из двух таких прямых выбираем ту, для которой $l_2$ лежит между $l'_2$ и $l_1$ (это обеспечит правильный знак разности расстояний для точек между $l_1$ и $l'_2$).
б) Строим биссектрису $m_1$ того угла между $l_1$ и $l'_2$, в котором находятся искомые точки. Для любой точки $Y$ на этой биссектрисе $\rho(Y, l_1) = \rho(Y, l'_2) = \rho(Y, l_2) + d_1$.
2. Строим ГМТ для второго условия: $\rho(X, l_3) - \rho(X, l_1) = d_2$.
а) Аналогично строим прямую $l'_1$, параллельную $l_1$ на расстоянии $d_2$.
б) Строим биссектрису $m_2$ соответствующего угла между $l_3$ и $l'_1$.
3. Точка пересечения прямых $m_1$ и $m_2$ является искомой.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения двух прямых, каждая из которых является геометрическим местом точек, удовлетворяющих одному из условий. В общем случае решение единственно.

г) Пусть дана прямая $l_1$, точка $A$ на ней и другая прямая $l_2$. Искомая точка $X$ должна лежать на $l_1$ и удовлетворять условию $XA = \rho(X, l_2)$.
Это условие определяет параболу, для которой точка $A$ является фокусом, а прямая $l_2$ — директрисой. Искомые точки — это точки пересечения прямой $l_1$ с этой параболой.

Построение:
Случай 1: $l_1 \parallel l_2$. Пусть расстояние между ними равно $h$. Тогда для любой точки $X$ на $l_1$ расстояние до $l_2$ постоянно и равно $h$. Условие принимает вид $XA = h$. Искомые точки находятся на прямой $l_1$ на расстоянии $h$ от точки $A$. Таких точек две (если $h>0$), они строятся как пересечение прямой $l_1$ с окружностью радиуса $h$ с центром в $A$.
Случай 2: $l_1$ и $l_2$ пересекаются в точке $O$. Пусть угол между ними равен $\alpha$. Пусть $X$ — точка на $l_1$. Тогда $\rho(X, l_2) = OX \cdot \sin\alpha$. Условие $XA = \rho(X, l_2)$ превращается в $|OX - OA| = OX \cdot \sin\alpha$ (если $X$ и $A$ по одну сторону от $O$). Это уравнение распадается на два:
1) $OX - OA = OX \cdot \sin\alpha \implies OX(1-\sin\alpha) = OA \implies OX = \frac{OA}{1-\sin\alpha}$.
2) $OA - OX = OX \cdot \sin\alpha \implies OA = OX(1+\sin\alpha) \implies OX = \frac{OA}{1+\sin\alpha}$.
Отрезки такой длины можно построить с помощью циркуля и линейки (например, используя теорему Фалеса). Таким образом, находятся две искомые точки.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения данной прямой $l_1$ с параболой (фокус — данная точка $A$, директриса — данная прямая $l_2$). Задача может иметь до двух решений, которые можно построить циркулем и линейкой.

д) Пусть дана прямая $l$, пересекающиеся прямые $l_1, l_2$ и отрезок длины $d$. Искомая точка $X$ должна лежать на $l$ и удовлетворять условию $|\rho(X, l_1) - \rho(X, l_2)| = d$.
ГМТ, удовлетворяющих условию $|\rho(X, l_1) - \rho(X, l_2)| = d$, является парой прямых. Это объединение двух ГМТ:
1. $\rho(X, l_1) - \rho(X, l_2) = d$. Это прямая $m_1$.
2. $\rho(X, l_2) - \rho(X, l_1) = d$. Это прямая $m_2$.
Каждая из этих прямых параллельна одной из биссектрис углов между $l_1$ и $l_2$.

Построение:
1. Строим прямую $m_1$. Для этого находим две точки, принадлежащие ей. Возьмем на прямой $l_2$ точки $P_1, P_2$ такие, что $\rho(P_1, l_1) = d$ и $\rho(P_2, l_1) = d$. Они строятся как пересечение $l_2$ с парой прямых, параллельных $l_1$ и отстоящих от нее на $d$. Прямая $m_1$ проходит через $P_1$ и $P_2$ (если они существуют и различны). Альтернативный способ: $m_1$ параллельна внешней биссектрисе угла $(l_1, l_2)$ и проходит через точку $P_1$.
2. Аналогично строим прямую $m_2$. Находим на $l_1$ точки $Q_1, Q_2$ такие, что $\rho(Q_1, l_2) = d$. Прямая $m_2$ проходит через $Q_1, Q_2$.
3. Находим точки пересечения данной прямой $l$ с построенными прямыми $m_1$ и $m_2$.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения данной прямой $l$ с парой прямых, являющихся ГМТ, для которых модуль разности расстояний до двух других данных прямых постоянен. Задача может иметь до двух решений.

е) Пусть дана прямая $l$ и точки $A, B$. Требуется найти точку $X$ на прямой $l$, для которой значение $|XA - XB|$ является наибольшим.
Это классическая задача на оптимизацию. Воспользуемся методом отражения.

Построение:
1. Отразим одну из точек, например $B$, симметрично относительно прямой $l$. Получим точку $B'$.
2. Проведем прямую через точки $A$ и $B'$.
3. Точка пересечения прямой $AB'$ с прямой $l$ и есть искомая точка $X$.

Обоснование:
Для любой точки $Y$ на прямой $l$ расстояние до $B$ равно расстоянию до $B'$, т.е. $YB = YB'$.
Следовательно, требуется максимизировать величину $|YA - YB| = |YA - YB'|$.
Рассмотрим треугольник $AYB'$. По неравенству треугольника (или следствию из него), $|YA - YB'| \le AB'$.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда точки $Y, A, B'$ лежат на одной прямой.
Построенная точка $X$ как раз и является точкой пересечения прямых $l$ и $AB'$, поэтому для нее $|XA-XB'| = AB'$, что и является максимально возможным значением.
Если прямая $AB'$ параллельна $l$, то такой точки не существует (максимум не достигается в конечной области). Если $l$ совпадает с $AB'$, решений бесконечно много. В общем случае решение единственно.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения данной прямой $l$ с прямой, проходящей через одну из данных точек ($A$) и точку, симметричную другой данной точке ($B$) относительно прямой $l$.