Номер 702, страница 210 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

702. Дана окружность с центром $O$ и диаметром $AB$. На каждом радиусе $OC$ откладывается отрезок $OM$, равный проекции этого радиуса на диаметр $AB$. Найдите геометрическое место точек $M$.

Введем декартову систему координат. Пусть центр окружности $O$ совпадает с началом координат $(0, 0)$, а диаметр $AB$ лежит на оси Ox. Пусть радиус данной окружности равен $R$. Тогда точки $A$ и $B$ имеют координаты $(-R, 0)$ и $(R, 0)$ соответственно.

Рассмотрим произвольный радиус $OC$, где $C$ — точка на окружности. Пусть полярный угол точки $C$ равен $\theta$. Этот угол отсчитывается от положительного направления оси Ox (луча $OB$). Координаты точки $C$ в декартовой системе будут $(R \cos \theta, R \sin \theta)$.

Проекцией радиуса $OC$ на диаметр $AB$ (ось Ox) является отрезок $OP$, где $P$ — проекция точки $C$ на ось Ox. Координаты точки $P$ равны $(R \cos \theta, 0)$.

Длина этой проекции равна расстоянию от начала координат $O(0,0)$ до точки $P(R \cos \theta, 0)$, то есть $OP = |R \cos \theta|$.

По условию задачи, на радиусе $OC$ откладывается отрезок $OM$, длина которого равна длине проекции $OP$. Следовательно, $OM = |R \cos \theta|$.

Теперь найдем уравнение, описывающее геометрическое место точек $M$. Точка $M$ лежит на луче $OC$, поэтому ее полярный угол также равен $\theta$. Расстояние от начала координат до точки $M$ (ее полярный радиус) равно $r = OM$. Таким образом, уравнение искомого множества точек в полярной системе координат имеет вид:

$r = R|\cos \theta|$

Для того чтобы понять, что это за фигура, переведем это уравнение в декартовы координаты. Рассмотрим два случая в зависимости от знака $\cos \theta$.

1. Если радиус $OC$ находится в I или IV координатной четверти (т.е. $- \pi/2 \le \theta \le \pi/2$), то $\cos \theta \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$r = R \cos \theta$

Умножим обе части на $r$ (при $r \ne 0$):

$r^2 = R (r \cos \theta)$

Используя формулы перехода от полярных координат к декартовым, $x = r \cos \theta$ и $x^2 + y^2 = r^2$, получаем:

$x^2 + y^2 = Rx$

$x^2 - Rx + y^2 = 0$

Дополнив выражение до полного квадрата по переменной $x$, получим:

$(x^2 - Rx + (\frac{R}{2})^2) - (\frac{R}{2})^2 + y^2 = 0$

$(x - \frac{R}{2})^2 + y^2 = (\frac{R}{2})^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $(\frac{R}{2}, 0)$ и радиусом $\frac{R}{2}$. Данная окружность построена на радиусе $OB$ исходной окружности как на диаметре.

2. Если радиус $OC$ находится во II или III координатной четверти (т.е. $\pi/2 < \theta < 3\pi/2$), то $\cos \theta < 0$. Уравнение принимает вид:

$r = -R \cos \theta$

Аналогично первому случаю, умножаем на $r$ и переходим к декартовым координатам:

$r^2 = -R (r \cos \theta)$

$x^2 + y^2 = -Rx$

$x^2 + Rx + y^2 = 0$

$(x^2 + Rx + (\frac{R}{2})^2) - (\frac{R}{2})^2 + y^2 = 0$

$(x + \frac{R}{2})^2 + y^2 = (\frac{R}{2})^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $(-\frac{R}{2}, 0)$ и радиусом $\frac{R}{2}$. Эта окружность построена на радиусе $OA$ исходной окружности как на диаметре.

Объединяя оба случая, мы получаем, что искомое геометрическое место точек $M$ состоит из двух окружностей, которые касаются друг друга в начале координат $O$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек – это две окружности, построенные на радиусах $OA$ и $OB$ данной окружности как на диаметрах.