Номер 659, страница 197 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

659. Найдите множество таких точек $M(x;y;z)$, сумма квадратов расстояний которых до точек $A(1;2;3)$ и $B(3;4;-1)$ равна 44.

Пусть точка $M$ имеет координаты $(x; y; z)$. По условию задачи, сумма квадратов расстояний от точки $M$ до точек $A(1; 2; 3)$ и $B(3; 4; -1)$ равна 44. Запишем это условие в виде уравнения:

$MA^2 + MB^2 = 44$

Квадрат расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле:$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$.

Выразим квадраты расстояний $MA^2$ и $MB^2$ через координаты точек:

$MA^2 = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2$

$MB^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - (-1))^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z + 1)^2$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$((x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2) + ((x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z + 1)^2) = 44$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + (z^2 - 6z + 9) + (x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) + (z^2 + 2z + 1) = 44$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + x^2) + (-2x - 6x) + (y^2 + y^2) + (-4y - 8y) + (z^2 + z^2) + (-6z + 2z) + (1 + 4 + 9 + 9 + 16 + 1) = 44$

$2x^2 - 8x + 2y^2 - 12y + 2z^2 - 4z + 40 = 44$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения и упростим:

$2x^2 - 8x + 2y^2 - 12y + 2z^2 - 4z = 44 - 40$

$2x^2 - 8x + 2y^2 - 12y + 2z^2 - 4z = 4$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 4x + y^2 - 6y + z^2 - 2z = 2$

Чтобы определить геометрический смысл этого уравнения, выделим полные квадраты для каждой переменной:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 - 6y + 9) - 9 + (z^2 - 2z + 1) - 1 = 2$

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 1)^2 - 4 - 9 - 1 = 2$

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 1)^2 - 14 = 2$

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 1)^2 = 16$

Полученное уравнение является уравнением сферы. Центр сферы находится в точке $C(2; 3; 1)$, а квадрат радиуса равен 16. Следовательно, радиус сферы $R = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: искомое множество точек является сферой с центром в точке $C(2; 3; 1)$ и радиусом $R=4$. Уравнение этой сферы: $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 1)^2 = 16$.