Номер 613, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

613. Цилиндр с радиусом основания $r$ и высотой $h$ рассечен плоскостью, параллельной оси. Найдите объем меньшей части цилиндра, учитывая, что дуга ее основания равна $120^\circ$.

Объем части цилиндра, полученной сечением плоскостью, параллельной его оси, вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $h$ — высота цилиндра, а $S_{осн}$ — площадь фигуры в основании этой части. В данном случае фигурой в основании является сегмент круга.

Площадь сегмента круга ($S_{сегм}$) можно найти как разность площади соответствующего ему кругового сектора ($S_{сект}$) и площади равнобедренного треугольника ($S_{\triangle}$), образованного двумя радиусами и хордой, стягивающей дугу сегмента.

По условию, дуга основания равна $120^\circ$. Это означает, что центральный угол, опирающийся на эту дугу, также равен $120^\circ$.

1. Вычисление площади кругового сектора ($S_{сект}$)

Площадь сектора с центральным углом $\alpha$ и радиусом $r$ равна $S_{сект} = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi r^2$. Подставив $\alpha = 120^\circ$, получаем:

$S_{сект} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \pi r^2 = \frac{1}{3}\pi r^2$

2. Вычисление площади треугольника ($S_{\triangle}$)

Треугольник, образованный двумя радиусами и хордой, является равнобедренным. Его площадь можно найти по формуле $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — стороны, а $\gamma$ — угол между ними. В нашем случае $a = b = r$ и $\gamma = 120^\circ$.

$S_{\triangle} = \frac{1}{2}r \cdot r \cdot \sin(120^\circ)$

Зная, что $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, находим:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2}r^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}r^2$

3. Вычисление площади сегмента ($S_{сегм}$)

Теперь вычитаем площадь треугольника из площади сектора:

$S_{сегм} = S_{сект} - S_{\triangle} = \frac{1}{3}\pi r^2 - \frac{\sqrt{3}}{4}r^2 = r^2\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$

4. Вычисление объема меньшей части цилиндра ($V$)

Наконец, умножаем площадь основания на высоту $h$:

$V = S_{сегм} \cdot h = r^2\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right)h$

Выражение можно также представить, приведя дроби к общему знаменателю:

$V = hr^2\left(\frac{4\pi - 3\sqrt{3}}{12}\right)$

Ответ: $V = hr^2\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$.