Номер 507, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

507. Найдите стороны треугольника, учитывая, что:

а) одна из них в два раза меньше другой и на 4 см меньше третьей, а площадь тре-угольника равна $4\sqrt{5}$ см$^2$;

б) радиусы вневписанных окружностей равны 6 см, 9 см и 18 см (рис. 391).

Рис. 391

а)

Пусть одна из сторон треугольника равна $x$ см. Согласно условию, другая сторона в два раза больше, то есть $2x$ см, а третья на 4 см больше первой, то есть $(x+4)$ см. Стороны треугольника: $x$, $2x$, $x+4$.

Площадь треугольника $S$ равна $4\sqrt{5}$ см². Для нахождения сторон воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр, а $a, b, c$ — стороны треугольника.

Вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{x + 2x + (x+4)}{2} = \frac{4x+4}{2} = 2x+2$

Вычислим выражения $(p-a)$, $(p-b)$ и $(p-c)$ для наших сторон $a=x, b=2x, c=x+4$:

$p-a = (2x+2) - x = x+2$

$p-b = (2x+2) - 2x = 2$

$p-c = (2x+2) - (x+4) = x-2$

Для того чтобы площадь была действительным числом, необходимо, чтобы все множители под корнем были положительными. В частности, $x-2>0$, откуда $x>2$.

Подставим все полученные выражения в формулу Герона:

$S = \sqrt{(2x+2)(x+2)(2)(x-2)} = 4\sqrt{5}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(2x+2)(x+2)(2)(x-2) = (4\sqrt{5})^2$

$2(x+1) \cdot 2 \cdot (x+2)(x-2) = 16 \cdot 5$

$4(x+1)(x^2-4) = 80$

$(x+1)(x^2-4) = 20$

$x^3 + x^2 - 4x - 4 = 20$

$x^3 + x^2 - 4x - 24 = 0$

Найдем корни этого кубического уравнения. Проверим целые делители свободного члена (-24). Попробуем $x=3$:

$3^3 + 3^2 - 4(3) - 24 = 27 + 9 - 12 - 24 = 36 - 36 = 0$

Корень $x=3$ удовлетворяет уравнению и условию $x>2$. Чтобы убедиться, что других положительных корней нет, разделим многочлен на $(x-3)$:

$(x^3 + x^2 - 4x - 24) \div (x-3) = x^2 + 4x + 8$

Дискриминант квадратного трехчлена $x^2+4x+8$ равен $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16$. Так как $D < 0$, других действительных корней нет. Единственный корень $x=3$.

Теперь найдем длины сторон треугольника:

Первая сторона: $x = 3$ см.

Вторая сторона: $2x = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Третья сторона: $x+4 = 3+4 = 7$ см.

Ответ: стороны треугольника равны 3 см, 6 см и 7 см.

б)

Пусть $a, b, c$ — стороны треугольника, $S$ — его площадь, $p$ — полупериметр, а $r_a, r_b, r_c$ — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон $a, b, c$ соответственно. По условию, $r_a=6$ см, $r_b=9$ см, $r_c=18$ см.

Используем следующие формулы, связывающие радиусы вневписанных окружностей, радиус вписанной окружности $r$, площадь и полупериметр треугольника:

1. Связь между радиусами: $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c}$

2. Площадь через радиусы: $S = \sqrt{r \cdot r_a \cdot r_b \cdot r_c}$

3. Площадь через полупериметр и радиус вписанной окружности: $S = p \cdot r$

4. Радиусы вневписанных окружностей: $r_a = \frac{S}{p-a}$, $r_b = \frac{S}{p-b}$, $r_c = \frac{S}{p-c}$

Сначала найдем радиус вписанной окружности $r$:

$\frac{1}{r} = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{18}$

Приведем дроби к общему знаменателю 18:

$\frac{1}{r} = \frac{3}{18} + \frac{2}{18} + \frac{1}{18} = \frac{3+2+1}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

Отсюда $r = 3$ см.

Теперь найдем площадь треугольника $S$:

$S = \sqrt{3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 18} = \sqrt{2916} = 54$ см².

Зная площадь $S$ и радиус вписанной окружности $r$, найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{S}{r} = \frac{54}{3} = 18$ см.

Наконец, найдем стороны треугольника $a, b, c$, используя формулы для радиусов вневписанных окружностей:

$p-a = \frac{S}{r_a} = \frac{54}{6} = 9 \implies a = p - 9 = 18 - 9 = 9$ см.

$p-b = \frac{S}{r_b} = \frac{54}{9} = 6 \implies b = p - 6 = 18 - 6 = 12$ см.

$p-c = \frac{S}{r_c} = \frac{54}{18} = 3 \implies c = p - 3 = 18 - 3 = 15$ см.

Ответ: стороны треугольника равны 9 см, 12 см и 15 см.