Номер 38, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

38. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 5 см. Найдите объем призмы, учитывая, что радиус окружности, описанной около основания призмы, равен 6,5 см, а высота призмы — 10 см.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Основанием данной призмы является прямоугольный треугольник. Из условия задачи нам известны следующие величины: один из катетов основания $a = 5$ см; радиус окружности, описанной около основания, $R = 6,5$ см; высота призмы $h = 10$ см.

1. Нахождение сторон основания (прямоугольного треугольника)
Для любого прямоугольного треугольника радиус описанной около него окружности равен половине его гипотенузы ($c$). То есть, $R = \frac{c}{2}$.
Используя эту формулу, найдем гипотенузу: $c = 2 \cdot R = 2 \cdot 6,5 = 13$ см.
Теперь, зная гипотенузу $c=13$ см и один катет $a=5$ см, мы можем найти второй катет $b$ с помощью теоремы Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
$5^2 + b^2 = 13^2$
$25 + b^2 = 169$
$b^2 = 169 - 25$
$b^2 = 144$
$b = \sqrt{144} = 12$ см.

2. Вычисление площади основания
Площадь прямоугольного треугольника ($S_{осн}$) равна половине произведения его катетов: $S_{осн} = \frac{1}{2}ab$.
Подставим значения катетов $a=5$ см и $b=12$ см: $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = \frac{60}{2} = 30$ см².

3. Вычисление объема призмы
Теперь, зная площадь основания $S_{осн} = 30$ см² и высоту призмы $h = 10$ см, найдем ее объем: $V = S_{осн} \cdot h = 30 \cdot 10 = 300$ см³.

Ответ: 300 см³.