Номер 248, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

248. Через конец диаметра сферы с радиусом $R$ проведена секущая плоскость под углом $\alpha$ к диаметру. Найдите длину полученного сечения, учитывая, что:

a) $R = 3$ см, $\alpha = 30^\circ$;

б) $R = 5$ м, $\alpha = 45^\circ$.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Секущая плоскость $\beta$ проходит через конец диаметра (точку $A$) под углом $\alpha$ к этому диаметру. Сечением сферы является окружность. Нам нужно найти длину этой окружности $C$.

Обозначим радиус окружности сечения как $r$. Тогда искомая длина равна $C = 2\pi r$.

Чтобы найти радиус $r$, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOO'$, где $O$ - центр сферы, $A$ - точка на сфере, через которую проходит плоскость, и $O'$ - центр окружности сечения. В этом треугольнике:

• Гипотенуза $AO$ равна радиусу сферы $R$.
• Угол $\angle AO'O = 90^\circ$, так как отрезок $OO'$ перпендикулярен плоскости сечения по определению центра сечения.
• Катет $AO'$ является радиусом сечения $r$.
• Угол $\angle O'AO$ — это угол между прямой $AO$ (которая является частью диаметра) и ее проекцией $AO'$ на плоскость $\beta$. По определению, это и есть угол между прямой и плоскостью, то есть $\angle O'AO = \alpha$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle AOO'$ находим катет $r$: $r = AO \cdot \cos(\angle O'AO) = R \cos \alpha$.

Таким образом, формула для длины сечения приобретает вид: $C = 2\pi r = 2\pi R \cos \alpha$.

Теперь применим эту общую формулу для решения конкретных задач.

а)

Подставляем заданные значения $R = 3$ см и $\alpha = 30^\circ$ в выведенную формулу: $C = 2\pi \cdot 3 \cdot \cos(30^\circ)$.

Поскольку $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $C = 6\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\pi\sqrt{3}$ см.

Ответ: $3\pi\sqrt{3}$ см.

б)

Подставляем заданные значения $R = 5$ м и $\alpha = 45^\circ$ в ту же формулу: $C = 2\pi \cdot 5 \cdot \cos(45^\circ)$.

Поскольку $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $C = 10\pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\pi\sqrt{2}$ м.

Ответ: $5\pi\sqrt{2}$ м.