Номер 220, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

220. Найдите объем тела, полученного вращением:

a) треугольника со сторонами 15 см, 41 см и 52 см вокруг большей стороны;

б) прямоугольного треугольника с площадью $S$ и острым углом $\alpha$ около его гипотенузы;

в) параллелограмма с площадью $Q$ вокруг стороны длиной $a$.

а) треугольника со сторонами 15 см, 41 см и 52 см вокруг большей стороны;

Тело, полученное вращением треугольника вокруг одной из его сторон, состоит из двух конусов с общим основанием. Радиус этого основания равен высоте треугольника, опущенной на сторону вращения. Сумма высот этих двух конусов равна длине стороны вращения.

Найдем объем тела вращения.
1. Сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона. Стороны треугольника: $a_1 = 15$ см, $a_2 = 41$ см, $a_3 = 52$ см. Вращение происходит вокруг большей стороны, т.е. вокруг стороны $a_3 = 52$ см.
Полупериметр $p = \frac{a_1+a_2+a_3}{2} = \frac{15+41+52}{2} = \frac{108}{2} = 54$ см.
Площадь треугольника:
$S = \sqrt{p(p-a_1)(p-a_2)(p-a_3)} = \sqrt{54(54-15)(54-41)(54-52)}$
$S = \sqrt{54 \cdot 39 \cdot 13 \cdot 2} = \sqrt{(27 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 13) \cdot 13 \cdot 2} = \sqrt{81 \cdot 4 \cdot 169} = 9 \cdot 2 \cdot 13 = 234$ см$^2$.

2. Теперь найдем высоту $h$, опущенную на большую сторону. Эта высота будет радиусом $R$ основания конусов.
Площадь также можно выразить как $S = \frac{1}{2} a_3 h$.
$234 = \frac{1}{2} \cdot 52 \cdot h$
$234 = 26 \cdot h$
$h = \frac{234}{26} = 9$ см.
Таким образом, радиус основания конусов $R = 9$ см.

3. Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух конусов: $V = V_1 + V_2$.
$V = \frac{1}{3}\pi R^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi R^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 (h_1+h_2)$.
Сумма высот конусов $h_1+h_2$ равна стороне вращения, т.е. $a_3 = 52$ см.
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 9^2 \cdot 52 = \frac{1}{3}\pi \cdot 81 \cdot 52 = 27 \cdot 52 \cdot \pi = 1404\pi$ см$^3$.

Ответ: $1404\pi \text{ см}^3$.

б) прямоугольного треугольника с площадью S и острым углом α около его гипотенузы;

Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, состоит из двух конусов с общим основанием. Радиус $R$ этого основания — это высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, а сумма высот конусов равна длине гипотенузы $c$. Объем тела вращения $V = \frac{1}{3}\pi R^2 c$.

Выразим $R$ и $c$ через заданные $S$ и $\alpha$.
1. Пусть катеты треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза $c$. Углы при гипотенузе равны $\alpha$ и $90^\circ - \alpha$.
Тогда $a = c \sin \alpha$ и $b = c \cos \alpha$.
Площадь треугольника $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}(c \sin \alpha)(c \cos \alpha) = \frac{1}{2}c^2 \sin \alpha \cos \alpha$.
Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, получаем:
$S = \frac{1}{4}c^2 \sin(2\alpha)$.
Отсюда выразим гипотенузу $c$:
$c^2 = \frac{4S}{\sin(2\alpha)} \Rightarrow c = 2\sqrt{\frac{S}{\sin(2\alpha)}}$.

2. Радиус $R$ основания конусов — это высота $h_c$, опущенная на гипотенузу.
Площадь также выражается как $S = \frac{1}{2} c h_c$.
Отсюда $R = h_c = \frac{2S}{c} = \frac{2S}{2\sqrt{\frac{S}{\sin(2\alpha)}}} = \frac{S \sqrt{\sin(2\alpha)}}{\sqrt{S}} = \sqrt{S \sin(2\alpha)}$.

3. Теперь найдем объем тела вращения:
$V = \frac{1}{3}\pi R^2 c = \frac{1}{3}\pi \left(\sqrt{S \sin(2\alpha)}\right)^2 \left(2\sqrt{\frac{S}{\sin(2\alpha)}}\right)$
$V = \frac{1}{3}\pi (S \sin(2\alpha)) \left(\frac{2\sqrt{S}}{\sqrt{\sin(2\alpha)}}\right) = \frac{2\pi S \sqrt{S} \sin(2\alpha)}{3\sqrt{\sin(2\alpha)}} = \frac{2\pi S^{3/2} \sqrt{\sin(2\alpha)}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi S \sqrt{S\sin(2\alpha)}}{3}$.

в) параллелограмма с площадью Q вокруг стороны длиной a.

Для нахождения объема тела вращения воспользуемся второй теоремой Гюльдена-Паппа: объем тела вращения плоской фигуры равен произведению площади этой фигуры $A$ на длину окружности, которую описывает центр масс (центроид) этой фигуры, т.е. $V = 2\pi \bar{y} A$, где $\bar{y}$ - расстояние от центроида до оси вращения.

1. В нашем случае плоская фигура — это параллелограмм с площадью $A = Q$. Ось вращения — сторона длиной $a$.

2. Найдем расстояние $\bar{y}$ от центроида параллелограмма до оси вращения (стороны $a$).
Центроид параллелограмма находится в точке пересечения его диагоналей. Это точка равноудалена от параллельных сторон.
Пусть $h$ — высота параллелограмма, проведенная к стороне $a$. Тогда площадь $Q = a \cdot h$, откуда $h = \frac{Q}{a}$.
Расстояние от центроида до стороны $a$ равно половине высоты $h$:
$\bar{y} = \frac{h}{2} = \frac{Q}{2a}$.

3. Подставим найденные значения в формулу Гюльдена-Паппа:
$V = 2\pi \cdot \bar{y} \cdot A = 2\pi \cdot \left(\frac{Q}{2a}\right) \cdot Q = \frac{\pi Q^2}{a}$.

Ответ: $\frac{\pi Q^2}{a}$.