Номер 6, страница 59 - гдз по физике 11 класс учебник Жилко, Маркович

6. Входной контур радиоприемника содержит катушку индуктивностью $L = 0,32$ мГн. В каких пределах должна изменяться емкость $C$ конденсатора контура, чтобы радиоприемник мог принимать сигналы радиостанции, работающей в диапазоне частот от $v_1 = 8,0$ МГц до $v_2 = 24$ МГц?

Дано:

Индуктивность, $L = 0,32$ мГн

Минимальная частота, $\nu_1 = 8,0$ МГц

Максимальная частота, $\nu_2 = 24$ МГц

Найти:

Пределы изменения емкости $C_{min} - C_{max}$

Решение:

Для того чтобы радиоприемник мог принимать сигналы радиостанции, частота собственных колебаний его входного контура должна совпадать с частотой принимаемого сигнала. Это явление называется резонансом. Частота собственных колебаний в колебательном контуре определяется формулой Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Чтобы найти емкость $C$, необходимую для настройки на определенную частоту $\nu$, выразим ее из формулы Томсона. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$\nu^2 = \frac{1}{(2\pi)^2 LC} = \frac{1}{4\pi^2 LC}$

Отсюда емкость $C$ равна:

$C = \frac{1}{4\pi^2 L \nu^2}$

Из полученной формулы видно, что емкость $C$ обратно пропорциональна квадрату частоты $\nu$. Это означает, что для настройки на минимальную частоту диапазона ($\nu_1 = 8,0$ МГц) потребуется максимальная емкость конденсатора $C_{max}$, а для настройки на максимальную частоту ($\nu_2 = 24$ МГц) — минимальная емкость $C_{min}$.

Рассчитаем максимальную емкость $C_{max}$:

$C_{max} = \frac{1}{4\pi^2 L \nu_1^2} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot (3,2 \cdot 10^{-4} \text{ Гн}) \cdot (8,0 \cdot 10^6 \text{ Гц})^2} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 3,2 \cdot 10^{-4} \cdot 64 \cdot 10^{12}} \text{ Ф}$

$C_{max} = \frac{1}{819,2 \pi^2 \cdot 10^8} \text{ Ф} \approx \frac{1}{8085 \cdot 10^8} \text{ Ф} \approx 1,237 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} \approx 1,24 \text{ пФ}$

Рассчитаем минимальную емкость $C_{min}$:

$C_{min} = \frac{1}{4\pi^2 L \nu_2^2} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot (3,2 \cdot 10^{-4} \text{ Гн}) \cdot (24 \cdot 10^6 \text{ Гц})^2} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 3,2 \cdot 10^{-4} \cdot 576 \cdot 10^{12}} \text{ Ф}$

$C_{min} = \frac{1}{7372,8 \pi^2 \cdot 10^8} \text{ Ф} \approx \frac{1}{72766 \cdot 10^8} \text{ Ф} \approx 0,137 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} \approx 0,14 \text{ пФ}$

Таким образом, для приема сигналов в заданном диапазоне частот емкость конденсатора должна изменяться от $0,14$ пФ до $1,24$ пФ.

Ответ: емкость конденсатора контура должна изменяться в пределах от $0,14$ пФ до $1,24$ пФ.