вопрос, страница 155 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

Выберите равенство, верное для любых углов $\alpha$ и $\beta$:

a) $\cos \alpha - \cos \beta = \cos(\alpha - \beta)$;

б) $\cos \alpha - \cos \beta = \sin(\alpha - \beta)$;

в) $\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin \frac{\alpha + \beta}{2}\sin \frac{\alpha - \beta}{2}$;

г) $\cos \alpha - \cos \beta = -2\cos \frac{\alpha + \beta}{2}\cos \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Для того чтобы выбрать верное равенство, необходимо проверить каждое из предложенных утверждений. Это можно сделать либо с помощью подстановки конкретных значений углов, либо вспомнив тригонометрические формулы преобразования суммы (разности) в произведение.

а) $cosα - cosβ = cos(α - β)$

Проверим это равенство, подставив конкретные значения. Пусть $α = 90^\circ$ ($\frac{\pi}{2}$ рад) и $β = 0^\circ$ (0 рад).
Левая часть: $cos(90^\circ) - cos(0^\circ) = 0 - 1 = -1$.
Правая часть: $cos(90^\circ - 0^\circ) = cos(90^\circ) = 0$.
Поскольку $-1 \neq 0$, данное равенство не является тождеством и неверно для любых углов α и β.
Ответ: неверно.

б) $cosα - cosβ = sin(α - β)$

Проверим это равенство на тех же значениях: $α = 90^\circ$ и $β = 0^\circ$.
Левая часть: $cos(90^\circ) - cos(0^\circ) = 0 - 1 = -1$.
Правая часть: $sin(90^\circ - 0^\circ) = sin(90^\circ) = 1$.
Поскольку $-1 \neq 1$, данное равенство неверно.
Ответ: неверно.

в) $cosα - cosβ = -2sin\frac{α + β}{2}sin\frac{α - β}{2}$

Это одна из стандартных формул тригонометрии, известная как формула разности косинусов. Она преобразует разность косинусов в произведение синусов.
Докажем её. Воспользуемся формулами косинуса суммы и разности:
$cos(x+y) = cosx \cdot cosy - sinx \cdot siny$
$cos(x-y) = cosx \cdot cosy + sinx \cdot siny$
Вычтем из второго уравнения первое:
$cos(x-y) - cos(x+y) = 2sinx \cdot siny$
Сделаем замену переменных. Пусть $α = x+y$ и $β = x-y$.
Тогда, решая систему, получим: $x = \frac{α+β}{2}$ и $y = \frac{α-β}{2}$.
Подставим эти выражения обратно в выведенную формулу:
$cosβ - cosα = 2sin\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2}$
Умножим обе части на -1, чтобы получить искомую форму:
$cosα - cosβ = -2sin\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2}$
Это равенство является тождеством и верно для любых углов α и β.
Ответ: верно.

г) $cosα - cosβ = -2cos\frac{α + β}{2}cos\frac{α - β}{2}$

Проверим это равенство. Известная формула суммы косинусов выглядит так: $cosα + cosβ = 2cos\frac{α + β}{2}cos\frac{α - β}{2}$.
Таким образом, правая часть предложенного равенства равна $-(cosα + cosβ)$.
Тогда равенство принимает вид: $cosα - cosβ = -(cosα + cosβ)$, что равносильно $cosα - cosβ = -cosα - cosβ$, и далее $2cosα = 0$. Это верно только для частных случаев (когда $α = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$), а не для любых углов.
Приведем контрпример. Пусть $α = 0^\circ$ и $β = 60^\circ$.
Левая часть: $cos(0^\circ) - cos(60^\circ) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Правая часть: $-2cos\frac{0^\circ + 60^\circ}{2}cos\frac{0^\circ - 60^\circ}{2} = -2cos(30^\circ)cos(-30^\circ) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -2 \cdot \frac{3}{4} = -\frac{3}{2}$.
Поскольку $\frac{1}{2} \neq -\frac{3}{2}$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

Таким образом, единственное равенство, верное для любых углов α и β, представлено в пункте в).