вопрос, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

Выберите равенство, верное для любого угла $\beta$:

a) $\sin 2\beta = 2\sin \beta$;

б) $\sin 2\beta = \sin^2\beta$;

в) $\sin 2\beta = 2\sin \beta \cos\beta$;

г) $\sin 2\beta = 2\cos\beta$.

Для того чтобы определить, какое из предложенных равенств является тождеством, то есть верно для любого значения угла $\beta$, проанализируем каждый вариант.

Проверим это равенство, подставив конкретное значение угла, например, $\beta = 90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан).

Левая часть: $\sin(2 \cdot 90^\circ) = \sin(180^\circ) = 0$.

Правая часть: $2\sin(90^\circ) = 2 \cdot 1 = 2$.

Так как $0 \neq 2$, данное равенство не выполняется для всех углов.

Ответ: неверно.

Проверим это равенство, подставив, например, $\beta = 30^\circ$ (или $\frac{\pi}{6}$ радиан).

Левая часть: $\sin(2 \cdot 30^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Правая часть: $\sin^2(30^\circ) = (\sin 30^\circ)^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Так как $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{1}{4}$, данное равенство неверно.

Ответ: неверно.

Это равенство является основной тригонометрической формулой, известной как формула синуса двойного угла. Она верна для абсолютно любого значения угла $\beta$. Данная формула является следствием формулы синуса суммы двух углов:

$\sin(\alpha + \gamma) = \sin\alpha \cos\gamma + \cos\alpha \sin\gamma$

Если мы примем $\alpha = \beta$ и $\gamma = \beta$, то получим:

$\sin(\beta + \beta) = \sin\beta \cos\beta + \cos\beta \sin\beta$

$\sin(2\beta) = 2\sin\beta \cos\beta$

Это тождество, верное для любого $\beta$.

Ответ: верно.

Проверим это равенство, подставив $\beta = 0^\circ$.

Левая часть: $\sin(2 \cdot 0^\circ) = \sin(0^\circ) = 0$.

Правая часть: $2\cos(0^\circ) = 2 \cdot 1 = 2$.

Так как $0 \neq 2$, данное равенство не является верным для всех углов.

Ответ: неверно.

Таким образом, единственное равенство, верное для любого угла $\beta$, это в) $\sin 2\beta = 2\sin\beta \cos\beta$.